CIENCIAS EXACTAS: EXPRESION DE LAS ECUACIONES EN RELATIVIDAD

En la relatividad especial, las ecuaciones de Maxwell en el vacío se escriben mediante unas relaciones geométricas, las cuales toman la misma forma en cualquier sistema de referencia inercial. Éstas están escritas en términos de cuadrivectores y tensores contravariantes, que son objetos geométricos definidos en M⁴. Estos objetos se relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geométricas que al expresarlas en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para el campo electromagnético.

La cuadricorriente $\, J^{\alpha}$ está descrita por una 1-forma y lleva la información sobre la distribución de cargas y corrientes. Sus componentes son:

$\, J^{\alpha} = (c \rho (\mathbf{r},t), \mathbf{J}(\mathbf{r},t))$

Que debe cumplir la siguiente relación geométrica para que se cumpla la ecuación de continuidad.

$\, \delta J=0$

Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda:

$\partial_\alpha J^\alpha=0$

Para poner en correspondencia objetos del mismo rango, se utiliza el operador de Laplace-Beltrami o laplaciana definida como:

$\Box=d\delta+\delta d$

Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial, que lleva la información del potencial eléctrico y el potencial vector magnético.

$\nabla^2 A=-\mu _0 J$

O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que:

$\partial_\mu \partial^\mu A^\alpha=\mu _0 J^\alpha$

Expresión que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales electromagnéticos.

La 1-forma A lleva la información sobre los potenciales de los observadores inerciales siendo sus componentes:

$A^\alpha = \left(\frac {\Phi}{c},\mathbf{A} \right)$

Para obtener el objeto geométrico que contiene los campos, tenemos que subir el rango de A mediante el operador diferencial exterior $\partial$ obteniendo la 2-forma F campo electromagnético. En forma geométrica podemos escribir:

$\, F=dA$

Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que:

$F^{\mu \nu}=\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$

Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagnético.

$F_{\mu \nu} = \begin{bmatrix} 0 & -\cfrac {E_x}{c} & -\cfrac {E_y}{c} & -\cfrac {E_z}{c} \\ \cfrac {E_x}{c} & 0 & B_z & -B_y \\ \cfrac {E_y}{c} & -B_z & 0 & B_x \\ \cfrac {E_z}{c} & B_y & -B_x & 0 \end{bmatrix}$

[editar]Primer par de ecuaciones de Maxwell

La siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes, relacionamos la cuadricorriente con el tensor campo electromagnético mediante la forma geométrica:

$\, \delta F=\mu _0 J$

O bien en coordenadas Lorentz:

$\partial_\mu F^{\mu \nu}=\mu _0 J^\nu$

[editar]Obtención de las ecuaciones

Para un observable en S partiendo de expresión en coordenadas Lorentz podemos obtener:

Para $\, \nu = 0$ tenemos que: $\partial_\mu F^{\mu 0}=\mu _0 J^0$ , entonces:

$\mu _0 c \rho (\mathbf{r},t)=\part_1 F^{1 0}+\part_2 F^{2 0}+\part_3 F^{3 0} = \frac {1}{c} \left [ \frac{\part E_x}{\part x}+\frac{\part E_y}{\part y}+\frac{\part E_z}{\part z} \right ]$

Por tanto:

$\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\rho (\mathbf{r},t)}{c}$

Para $\, \nu = 1,2,3$ podemos obtener de la misma forma que:

$\nabla \wedge \mathbf{H}=\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$

[editar]Segundo par de ecuaciones de Maxwell

Corresponden a las ecuaciones homogéneas. Escritas en forma geométrica tenemos que:

$\, \delta * F=0$

Que corresponde con la expresión en los sistemas coordenados Lorentz:

$\, \partial_\mu * F^{\mu \nu}=0$

Donde el tensor $\, * F$ es el tensor dual de F. Se obtiene mediante el operador de Hodge.

[editar]Obtención de las ecuaciones

Para $\, \nu = 0$ :

$\partial_\mu * F^{\mu 0}=\partial_1 * F^{1 0}+\partial_2 * F^{2 0}+\partial_3 * F^{3 0}=\left [ \frac{\part B_x}{\part x}+\frac{\part B_y}{\part y}+\frac{\partial B_z}{\part z} \right ]=0$

Por tanto:

$\nabla\cdot \mathbf{B}=0$

Para $\, \nu = 1,2,3$ se obtiene la ecuación vectorial:

$\nabla \wedge \mathbf{E}+ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=0$

La propiedad $\, \partial_\alpha * F^{\alpha \beta}=0$ reproduce las ecuaciones de Maxwell internas, que se puede expresar como $\, d\mathbf{F}=0$ , que se puede escribir en los sistemas coordenados Lorentz como:

$\partial_{\gamma} F_{\alpha\beta} + \partial_{\beta} F_{\gamma\alpha} + \partial_{\alpha} F_{\beta\gamma}=0$

Forma Geométrica	Covariante Lorentz	Descripción
$\, \delta A=0$	$\, \partial_\mu A^\mu=0$	Condición/gauge de Lorenz (*)
$\, F=d A$	$F^{\mu \nu}=\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$	Definición de Campos Electromagnéticos
$\Box A=\mu _0 J$	$\partial_\mu \partial^\mu A^\alpha=\mu _0 J^\alpha$	Ecuaciones de Ondas
$\begin{matrix} \delta F=\mu _0 J \\ \delta * F=0 \end{matrix}$	$\begin{matrix} \partial_\mu F^{\mu \nu}=\mu _0 J^\nu \\ \partial_\mu * F^{\mu \nu}=0 \end{matrix}$	Ecuaciones de Maxwell
$\, \delta J=0$	$\partial_\alpha J^\alpha=0$	Ley de conservación de la Carga